Immaginiamo...

Quando si fa la radice quadrata di un numero, il risultato sarà sempre un valore positivo oppure uguale a zero; conseguentemente, è possibile svolgere radici quadrate di zero o di numeri positivi. Questo può essere interessante, ma fino a un certo punto: per un matematico è frustrante non poter fare la radice quadrata di un numero negativo, per esempio -4.

Eppure, se moltiplichiamo (-2)*(-2), il risultato sarà un numero positivo: 4. E se moltiplichiamo 2*2, il risultato sarà di nuovo 4. Generalizzando, non esiste nessun numero relativo che moltiplicato per se stesso dia come risultato un numero negativo. Pertanto, dovremmo concludere che non è possibile fare la radice quadrata di un numero negativo.

Ora, cosa succederebbe se "immaginassimo" per un momento di poter fare la radice quadrata di un numero negativo?

Per esempio,? Potremmo indicarla in qualche modo, potremmo chiamarla "Pippo", "invenzione", o come volete voi. Siccome stiamo semplicemente immaginando di fare la radice di -1, potremmo indicarla con la lettera "", vale a dire . Allora, il quadrato di , cioè  sarebbe uguale a -1. Quindi:

• 
•  = -1

A questo punto, possiamo chiederci quanto vale la radice quadrata di -4, cioè . 

Sappiamo che . Allora:

• 

Possiamo generalizzare il risultato per tutti i numeri negativi:

Bene, con un pò di fantasia siamo riusciti a fare le radici quadrate dei numeri negativi. Resta da chiedersi che tipo di numero è ? Certamente non è un numero che può stare sulla retta dei numeri reali:

i non lo trovi tra i numeri reali

Quando si iniziò a lavorare sui numeri immaginari, i matematici erano consapevoli del fatto che avevano di fronte una delle cosiddette idee "radicali" del loro campo di studi, proprio come furono l'invenzione (o la scoperta, dipende dai punti di vista) dello zero e dei numeri negativi. Ma la loro invenzione (o scoperta...) ha aperto nuovi studi e nuove idee. Per esempio, adesso è possibile risolvere l'equazione , la quale non ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali, ma che nell'insieme dei numeri immaginari è equivalente a trovare la .